小李飞刀重见数学江湖之望月新一: 众妙之门ABC

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ABC猜想就像众妙之门，它的证明会让许多悬而未决的难题迎刃而解，包括难倒数学界300年的费马大定理。

望月新一盛名之下退出江湖，花了十余年时间构筑一个庞大而全新的数学框架，带着证明重见江湖。然而，几年过去了，几乎没有人能看懂他的招式。

如今，情况似乎有了改观。2017年12月16日，日本媒体刊登消息，望月新一关于ABC猜想的论文最早将于2018年1月发表在Publications of Research Institute for Mathematical Sciences 期刊上。该刊是京都大学数理解析研究所（Research Institutefor Mathematical Sciences, RIMS）主导，并由欧洲数学学会负责出版的季刊。这表明，望月新一的这一工作，已经开始被数学界所接受。

众妙之门ABC

望月新一声称自己证明的这个ABC猜想，到底是怎么一回事呢？哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都有极其简洁的陈述，问题本身直截了当、简单易懂，以至于许多民间人士都前赴后继。ABC猜想要费劲一些，其描述往往让人一头雾水。

事实上，ABC猜想有几种不同的表述版本。我们这里借用老顾谈几何知名博主、数学家顾险峰教授的科普陈述：

给三个正整数 a, b, c, 它们的最大公约数为1，且 a+b=c。d为 abc的独特素因子之乘积，则d通常不会远小于c。

这个描述虽然有点绕，但也不是特别的复杂，这里面究竟蕴含着什么奥秘呢? 让我们回顾一下它的来龙去脉。

1985年，法国数学家Joseph Oesterle在德国的一个研讨会上首次提出了这个猜想。瑞士数论学家David Masser很快地意识到这个猜想的重要性，随后用更正式的方式发布了更通用的形式。因此，这个猜想又被称为Oesterle-Masser猜想。

几年后，哈佛大学Noam Elkies 意识到如果ABC猜想是正确的，将深刻地影响一系列Diophantine方程、即整数方程的研究。古希腊数学家Diophantus是研究这类方程的第一个人，如a^2+b^2=c^2, 也就是中国的勾股定理。

Elkies发现ABC猜想的证明可以解决一系列著名的悬而未决的Diophantine方程问题，因为它给出了方程解的清晰边界。例如，ABC猜想可能表明某一方程的解一定小于某一个数值，那么剩下要做的就是穷尽这些可能性，非常简单。而如果没有ABC猜想的话，无穷多的可能会将穷尽带入死胡同。

另外，从ABC猜想出发，可以直接推出困扰数学界300年的费马大定理，a^n+b^n=c^n。有没有人想起费马在书上做的小笔记？

“我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

迄今为止，Diophantine方程研究最重要的突破是由美国数学家Louis Mordell在1922年提出，即所谓的Mordell猜想：大部分Diophantine方程要么无解要么只有有限组解。这个猜想在1983年被德国数学家Gerd Faltings证明。他那时才28岁，3年后就因为这个工作赢得菲尔兹奖。

Elkies的工作意味着ABC猜想的证明将更为宏伟。如果ABC猜想是正确的，Faltings说，你就知道有多少这样的解，而且还能将他们全部列举出来。

Gerd Faltings

苦修

望月新一1969年在东京出生，美国长大。他曾在一所极其难进的高中念书，16岁的时候就被普林斯顿大学录取，本科毕业直接攻读博士学位，并迅速成为传奇。

在普林斯顿，望月新一遇见了Faltings，并在他的指导下做本科和博士论文。Faltings是一个顶级的数学大师，和他讨论数学问题的时候，最杰出的数学家也常常被人听到紧张地清他们的嗓子。可是Faltings对望月新一赞誉有加，称他明显是一个很聪明的学生。

聪明之外，望月新一更具有超乎自然的注意力。读博士后，他的世界里就只剩下两件半事情，工作、睡觉，还有半件是起床。牛津大学数学家Kim Minhyong在普林斯顿的时候就认识望月新一。Kim 说，那时候，教授和学生参加完一个研讨会，经常出去喝酒，但是望月新一从来不去。外界对他不是没有吸引力，他只是太专注于数学。

获得博士学位后，望月新一在哈佛呆了两年，随后回到日本在京都大学数理解析研究所（RIMS）谋得一个职位。RIMS是一个不需要教授本科生课程的机构，人可以在没有任何外在干扰的情况下潜心工作一个问题20年。望月新一在此蓬勃发展。1996年，他解决大数学家Grothendiec提出的一个猜想，赢得了国际声誉。1998年，望月新一在柏林的国际数学家大会做邀请报告，从此进入了数学界的名人堂。

一切看起来都一帆风顺，也许不久就会有一枚菲尔茨奖章在等着他。可是望月新一突然销声匿迹。在2000年，他停止参加国际会议，猫在京都，基本哪里都不去。风传他正在写令他的同事也费解的论文，高度抽象， 艰深晦涩。唯一保持联络的是几位数学家，他们知道望月新一在攻ABC猜想。他几乎没有竞争对手：其他数学家都已经远离这个问题，断定它无法解决。

重见江湖

时钟拨到5年前，2012年8月30号的早晨，望月新一默默地在他的网站上贴了4篇论文。论文很长，里面充满了奇形怪状的各种符号，总共超过500多页。这是望月新一十余年前从数学江湖销声匿迹之后的头一次露面，他声称证明了ABC猜想。

望月新一

如果这个证明是正确的，这无疑将是本世纪最重要而又令人震惊的数学成就，会给数论中的方程研究带来革命性的变化。在过去27年，没有任何一个其他数学家接近这个解。

数学世界很快发现这个工作并为之狂热。可是狂热慢慢消失，大家都变得惴惴不安。没有人能看懂望月新一在说些什么。

第一个注意到这篇论文的可能是盛田昭夫, 望月新一在RIMS的同事。在他的通知下，英国诺丁汉大学的数论学家Ivan Fesenko下载了论文，开始阅读。但是他很快感到迷惑，Fesenko说，读懂它几乎是Mission Impossible。

尽管如此，关于ABC猜想证明的这个消息迅速地传播开。在数学博客和线上论坛上，开始有关于这个证明的大量讨论。但是很快，最初的狂喜就被怀疑所取代。每一个人，甚至像Fesenko这样在这些领域中最接近望月新一的专家，都被论文的难点如同泡沫般淹没。为了完成证明，望月新一发明了自己一套全新的法则，一个令人吃惊的甚至从纯数学的角度看也是高端抽象的法则。美国威斯康星大学数论学家Jordan Ellenberg在他的博客称，望月新一的论文貌似来自未来，让人完全摸不到头脑。

对于数学而言，一切工作都需要别人接受。但是望月新一的证明是如此的不同，让很多顶尖的专家深深迷惑。他的新术语用的是如同密布着弥赛亚式的语言，他甚至称这个他创建的领域为内在普遍体系几何 (inter-universal gemometry)。看看论文里面的一段摘语吧，其中提到的Teichmuller，也是一个数学怪才，作为纳粹军人在二战中战死沙场，理论生前无人能懂，死后才得以发扬光大：

The present paper forms the fourth and final paper in a series of papers concerning “inter-universal Teichmuller theory”. In the first three papers of the series, we introduced and studied the theory surrounding the log-theta-lattice, a highly non-commutative two-dimensional diagram of “miniature models of conventional scheme theory”, called Θ±ellNF-Hodge theaters, that were associated, in the first paper of the series, tocertain data, called initial Θ-data. This data includes an elliptic curve EFover a number field F, together with a prime number l ≥ 5. Consideration of various properties of the log-theta-lattice led naturally to the establishment, in the third paper of the series, of multiradial algorithms for constructing “splitting monoids of LGP-monoids”.

这里面许多的词汇数学家们闻所未闻！望月新一构造了一个宏大的宇宙，里面就住着他一个人。望月新一的工作与以前的如此不同。他试图从数学的根基改革。大部分数学家不乐意投入时间去理解这项工作，因为他们没有看到清晰的回报：没人知道望月新一发明的这个数学机器是怎么运行的，是否可以被用来做计算。Faltings说，我试图去理解他们中的一些，然后我放弃了。我不能理解他在做什么。

谜底

几年过去了，望月新一的证明依然是数学上的一个没有被揭开谜底，也没有经同行评议发表。理解他的证明将花费算术几何学家500个小时，耗费数学研究生十年的时间，望月新一毫不谦虚地说。2014年12月，望月新一甚至写到，为了理解他工作，数学家需要停用他们已经在头脑中习惯并且想当然的思维方式。对于比利时安特卫普大学数学家Lieven Lebruyn而言，望月新一的这一态度听起来相当挑衅。不过，到目前为止，的确也只有屈指可数的几个数学家说他们可能已经读懂了整篇证明，并且很难去解释给其他的人。

“每一个我知道接近这份工作的人都是很理性的，但是之后他们就变得无法沟通，”一个不愿具名的数学家说。这使他想起Monty Python的一个小品，一个作家记下世界上最搞笑的笑话。任何人读到它都发笑而死，而不能把它讲给别人听。

或者就像古龙笔下的小李飞刀一样，没有人见过它，见过的都死了。

Fesenko在2014年详细研究了望月新一的工作，他已经确认了证明的正确性。另外还有三名数学家花了相当长的时候在日本和望月新一一起工作，也声称验证了这个证明。内蕴普遍体系几何的思想，Fesenko描述到，需要一个人用不同的眼光看待一个整数，把加法扔到一边，把乘法看成某种可改变和可变形的方式。标准的乘法将变成一系列结构中一个特别的例子，就像圆是椭圆的一个特例一样。

望月新一把自己比作数学巨人Grothendiec，这是一个相当不谦虚的声明。在望月新一的工作之前我们曾经有数学，在望月新一的工作之后我们有了新的数学。Fesenko说。

在他的证明报告中，望月新一写到，他的算术几何理论对于数学界而言，正如纯数学对于人类社会一样。问题的困境在于他抽象的工作和法则挑战其他数学家的思维。他需要将自己的工作介绍给其他数学家，正如数学家将自己的工作解释给普罗大众。

不过望月新一本人对揭开谜底似乎兴趣并不大。尽管他英文十分流利，却从不接受外来的讲学邀请，也拒绝会见记者讨论他的工作。他只是偶尔更新他的网页，给一些零星的进展。

“这是一个问题”。Faltings说，“你光有一个好想法是不够的，你还要给其他人解释。”如果望月新一想让他的工作被接受，那么他应该做的更多，到世界各地，讲给人听。他可以不想旅行。但如果他要得到承认，就不得不妥协。

望月新一的同行们一直试图整顿这个环境。2015年12月，各路数学家在英国牛津大学进行了第一次研讨会，这个领域的顶尖数学家都有参加，其中包括Faltings和Kim。只是望月新一没有到场，而是通过Skype视频与现场互动。2016年8月，大家又齐聚京都大学数理解析研究所，望月新一亲自展示了自己的论证。不过，望月新一一直都是很隐秘的一个人，据说他从来不在同事面前用餐，在京都的研讨会期间，他也没有参加任何社交活动。尽管他乐于回答大家的问题，但没有人知道他到底是怎么想的。

“望月新一并不会暴露太多。他是个出色的扑克玩家”。来自美国加州大学数论学家Kiran Kedlaya表示：“不过这次会议后，望月新一就不再像以前那样孤立无援了。”他最初拿出来的论文超过500页，简直是一片无法理解的公式丛林。如今，专家们已经渐渐找到方法来研究文中描述的证法，并能够从一些特别关键的段落入手。

望月新一的证明是处在被接受的边缘，还是会被最终抛弃？“这不是全有或全无的问题”，Ellenberg说。即使ABC猜想的证明没有完全解决，他的方法和思想还会慢慢渗入数学界。 “我认为，基于我对望月新一的理解，在那些文件中，包含有趣的或重要的数学的可能性非常高，”Ellenberg说。但他补充说，“如果我们大家都忘记了这个工作，那将是非常糟糕的，非常悲伤的故事。”

我们静待论文的发表。

花絮

2013年5月20日，计算机科学家Ted Nelson (HTTP之父)在youtube上爆料化名中本聪的比特币创始人其实就是京都大学的数学教授望月新一。没有人知道是谁发明了比特币，但从比特币出现的那一刻起，人们就没停止过对中本聪身份的挖掘。如果望月新一真的是中本聪，他的身价显然已经过亿。

尼尔森给出的证据有三点：（1）望月新一足够聪明可以设计出比特币如此复杂的系统；（2）望月新一不使用常规的学术发表机制。相反，他习惯独自工作，习惯发表论文后让其他人自己理解；（3）望月新一的工作领域包含比特币的数学算法。

视频中，尼尔森极尽对望月新一的溢美之词，称他为伟大的经济学家、社会学家和计算机学家，并觉得他应该因为比特币而获得诺贝尔经济学奖。最后他也希望望月新一可以将未来的工作重点放在解决人类最复杂的问题上，比如核武器、恐怖主义以及污染问题。

不过，很多人对此表示怀疑，例如，望月新一只是一名纯粹的数学家，一个纯粹的数学家开发出能立刻对现实世界产生重要影响的事情，总是会引人怀疑。而且，纯粹的数学家也不太可能开发出比特币这种模式的虚拟货币。不仅如此，从望月新一发表的各种学术作品来看，他对密码学并不感兴趣，这不符合他的研究领域。

注：本文2015年10月首发知社学术圈，今天略做更新，重新发布。

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